Геометричні моделі комбінаторних тотожностей

Abstract

Метод траєкторій започатковано у роботі D. Andre. У роботах Б.В. Гнєденка та його учнів згаданий метод було застосовано до задач математичної статистики.

Метод траєкторій в комбінаториці та теорії ймовірностей полягає у зведенні задач до підрахунку шляхів на цілочисельних ґратках. Для доведення комбінаторних тотожностей методом траєкторій обчислюють найкоротші шляхи на ґратках двома способами, і прирівнюючи результати обчислень, отримують ту чи іншу тотожність.

У цій статті пропонується просторова версія методу траєкторій і застосовується для доведення комбінаторних тотожностей.

Розглянуто як узагальнення відомих комбінаторних тотожностей так і доведення нових. Комбінаторні тотожності до водяться із використанням просторової системи координат. Завдяки своїй наочності, метод траєкторій також може бути використаний у навчанні комбінаторних розділів математики. Візуалізація навчального матеріалу є дуже важливою складовою методики викладання. Збільшення розмірності, звичайно, зменшує наочність матеріалу, але часто позитивно впливає на розвиток здатності до логічного аналізу задачі. Подальші дослідження у цьому напрямку можуть бути спрямовані на побудову траєкторій у просторі більшої розмірності та їх візуалізацію, а також на побудову геометричних інтерпретацій відомих комбінаторних тотожностей.